agt_exercise/übung_4/aufgabe_1.tex

\section{Knotengrade}
\begin{tasks}
\item
	Einen solchen Graph gibt es. Siehe \autoref{fig:task1a}.
	\points{3}
	\begin{figure}
		\centering
		\includegraphics[page=2, width=0.8\textwidth]{figures.pdf}
		\caption{Ein Graph mit 11 Knoten und Knotengraden 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 10.}
		\label{fig:task1a}
	\end{figure}
\item
	Das Problem kann als Maximalflussproblem modelliert werden. Dafür haben wir
	eine Quelle $s$, eine Senke $t$ und Knoten $v_{i_{e/a}}$ mit $i \in \NN_{\leq n}$.

	Die Eingangskapazität eines Knoten $v_{i_a}$ entspricht dem Ausgangsgrad $a_i$.

	Die Ausgangskapazität eines Knoten $v_{i_e}$ entspricht dem Eingangsgrad $e_i$.

	Für die Kantenkapazität $c \in \NN$ einer Kante $\tup{v_{i_a}, v_{j_e}}$ mit $i, j \leq n$ gilt,
	wenn $i = j$, sind Selbstkanten erlaubt, wenn $c > 0$.
	Ausserdem sind Mehrfachkanten erlaubt, wenn $c > 1$.
	Siehe \autoref{fig:task1b}.

	Wenn es einen vollständigen Fluss gibt, also alle in $t$ eingehenden Kanten vollständig benutzt werden, gibt es eine Lösung für das Problem,
	sonst nicht.
	\points{4}

	\begin{figure}
		\centering
		\includegraphics[page=3, width=0.8\textwidth]{figures.pdf}
		\caption{Das Problem als Maximalflussproblem.}
		\label{fig:task1b}
	\end{figure}
\item
	Die Modellierung ist korrekt, da die Eingangs- und Ausgangsgrade der Knoten
	$v_i$ im Graphen durch die Kantenkapazitäten $a_i$ und $e_i$ Fluss beschränkt werden.

	Durch wählen der Kantenkapazitäten der Kanten $(v_{i_a}, v_{j_e})$ im Fluss
	können Selbst- und Mehrfachkanten ein- oder ausgeschlossen werden.
	Damit entsprechen diese Kanten im Fluss den Kanten im Graphen.
	\points{2}
\end{tasks}