agt_exercise/übung_4/aufgabe_2.tex

\section{b-Flüsse}
\begin{tasks}
\item Damit überhaupt ein gültiger $s$-$t$ Fluss existieren kann, muss $$\sum_{v\in V}b(v)=0$$ gelten, da die Flusserhaltung gegeben sein muss.\\
Man erweitert den Graphen $G=(V,E)$ um eine künstliche Quelle $s$ und eine künstliche Senke $t$, welche man mit den schon vorhandenen ''Quellen'' ($b(v)<0$) und ''Senken''($b(v)>0$) verbindet. Als Kapazität der Kanten wählt man $|b(v)|$.\\
Die vorher bereits vorhandenen Kanten zwischen den Knoten bleiben natürlich mit ihrer Kapazität  vorhanden.\\
Ein Zulässiger b-Fluss existiert genau dann, wenn der maximale s-t-Fluss im erweiterten Graphen G' genau 
$$\sum_{v:b(v)>0}b(v)$$
entspricht, da dann alle neuen von $s$ ausgehenden Kanten vollständig ausgelastet sind. 
\points{4}

\item 
\begin{enumerate}
	\item Sei $f$ ein zulässiger b-Fluss in $G$. Man definiert $f'$ auf $G'$ durch:
	$$
	f'(e)= \begin{cases}
		f(e) &e\in E\\
		b(v) &e=(s\rightarrow v), b(v) >0\\
		-b(v) &e=(v\rightarrow t), b(v) <0\\
		\end{cases}
	$$
	Für jeden Knoten $v\in V$ gilt in $G'$:
	$$\textnormal{Nettozufluss}_{f'}(v)=\textnormal{Nettozufluss}_{f}(v)-b(v)=0$$
	Also ist $f'$ ein zulässiger $s$-$t$-Fluss mit Wert $|f'|=\sum_{v:b(v)>0}b(v)$
	\item Sei $f'$ ein $s$-$t$-Fluss in $G'$. Da sein Wert maximal ist, sind alle Kanten zu $s$ und $t$ voll ausgelastet.\\
	Für die Einschränkung $f:=f'\vert_E$ betrachtet man die Flusserhaltung jedes Knotens $v\in V$ in $G'$:
	\begin{align*}
		\textnormal{Nettozufluss}_f(v) &= \textnormal{Nettozufluss}_{f'}(v)-[\textnormal{Beitrag der neuen Kante]} \\
		&= 0-(-b(v)) \\
		&= b(v)
	\end{align*}
	Also ist $f$ ein zulässiger b-Fluss in $G$.
\end{enumerate}
\points{2}
\end{tasks}