agt_exercise/übung_6/aufgabe_3.tex

\section{Matchings in allgemeinen Graphen}
\begin{tasks}
	\item
	
	\begin{pseudocode}
	M = $\emptyset$
	visited = Array von False der Größe $|V|$ // Markiert gematchte Knoten
	
	for e in E do
		if nicht visited[u] und nicht visited[v] then
			M = $M \cup \{e\}$
			visited[u] = True
			visited[v] = True

	return M
	\end{pseudocode}
		
	Angenommen M wäre erweiterbar (d.h. es gibt eine Kante \{u,v\} mit u,v $\notin$ V(M)). Dann wurden sowohl u als auch v während des Algorithmus beim Durchlaufen der Kante \{u,v\} als frei angesehen und wäre somit der Menge M hinzugefügt worden. Das ist eine Widerspruch. \\\\
	\textbf{Laufzeit:} \\
	Initialisierung des Arrays: $\Oh(V)$\\
	Schleife: Jede Kante wird genau einmal betrachtet ($\Oh(V)$) und die Überprüfung und Markierung passieren in $\Oh(1)$. Also insgesamt $\Oh(E)$\\
	Das ergibt eine Gesamtlaufzeit von $\Oh(V+E)$
		
	\points{3}
	\item
	
	\points{2}
	\item
	
	Sei M das vom Algorithmus berechnete maximale Matching und M* das optimale maximale Matching. \\
	Für jede Kante $e*=\{u,v\}\in$ M* gilt: mindestens einer der beiden Knoten $u$ oder $v$ muss über eine Kante aus M abgedeckt werden, sonst wäre der M nicht nicht-erweiterbar. \\
	Eine Kante aus M hat genau zwei Endknoten und kann daher höchstens zwei verschiedene Kanten aus M* ''blockieren''. Da alle Kanten in M* disjunt sind kann man daraus folgern:
	$$ |M*|\leq 2\cdot |M|\quad \Rightarrow\quad |M|\geq \frac{1}{2}|M*|$$
	Somit ist der Algorithmus aus der Teilaufgabe a) eine 1/2 Approximation für ein optimales Matching.
	
	\points{3}
	\item
	
	Zielfunktion:
	$$ \arg\min \sum_{e\in E} x_e \geq 1$$
	Entscheidungsvariablen: für jede Kante $e\in E$:
	$$x_e\in\{0,1\}\quad \forall e\in E$$
	Die Variable nimmt den Wert 1 an, wenn die Kante im Matching M ist und 0 falls sie das nicht ist.\\
	Nebenbedingungen:
	\begin{enumerate}
		\item Matching: Jeder Knoten darf von maximal einer Matching-Kante berührt werden
		$$\forall v\in V \colon \sum_{e\in \delta(v)}x_e\leq1$$
		$\delta(v)$ ist die Menge aller Kanten welche an $v$ anliegen
		\item Nicht-Erweiterbarkeit: Für jede Kante $\{u,v\}$ muss die Summe der Matching-Kanten an $u$ und $v$ mindestens 1 sein
		$$ \forall \{u,v\}\in E \colon \sum_{e\in\delta(u)}x_e+\sum_{e'\in\delta(v)}x_e'\geq 1$$
		$\delta(v)$ ist die Menge aller Kanten welche an $v$ anliegen. Äquivalent für $\delta(u)$.
	\end{enumerate}
	
	
	\points{3}
	\item
	
	\points{2}
	
	
\end{tasks}