agt_exercise/übung_3/aufgabe_2.tex

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\section{TSP mit Wiederholungen}
\begin{tasks}
	\item
	Um TSP mit Wiederholungen auf Metrisches TSP zu reduzieren, müssen wir den zugrundeliegenden Graphen
	metrisch machen, d. h. die Dreiecksungleichung muss für jede Menge von $3$ Knoten gelten.
	
	Dazu iterieren wir über alle möglichen Mengen $T = \set{a, b, c}$ mit $a \neq b \neq c$ und $a, b, c \in V$ und $G(T, E)$ ist vollständig.
	Erfüllt eine Menge die Dreiecksungleichung $c(a,b) \leq c(b,c) + c(a,c)$ nicht, so löschen wir 
	die Kante mit den höchsten Kosten aus dem Graphen.
	Das dürfen wir, da die TSP-Tour diese Kante nie enthalten wird, weil es einen Weg gibt, der 
	kürzer ist und alle drei Knoten enthält. Der Graph bleibt zusammenhängend, da wir für jede 
	Menge $T$ nur eine Kante löschen.
	\item
	Da wir den Graphen jetzt auf einen metrischen reduziert haben, können wir ähnlich wie in
	der Vorlesung vorgehen.
	
	Dazu nehmen wir einen Minimalen Spannbaum des Metrischen Graphen. Durch verdoppeln der Kanten
	entsteht ein Kreis für dessen Kosten gilt (siehe Vorlesung):
	$$
	c(Kreis) = 2 \cdotp c(MSB) \leq 2 \cdotp OPT
	$$
	Da wir Knoten und Kanten mehrfach benutzen dürfen, ist dieser Kreis eine 2-Approximation für
	TSP mit Wiederholungen.
\end{tasks}