agt_exercise/übung_2/aufgabe_1.tex

\section{Kleinste Knotenüberdeckung}

\begin{enumerate}
	\item \textbf{Zielfunktion:} 
	$$
		\textnormal{min}\sum_{v\in V}x_v
	$$
\item \textbf{Entscheidungsvariablen:}
	$$
		x_v\in\{0,1\}\quad \forall v\in V
	$$
	Für jeden Knoten wird eine binäre Variable eingeführt welche 1 ist, falls der Knoten $x_v$ Teil der Überdeckungsmenge $C$ ist und andernfalls den Wert 0 annimmt. 
\item \textbf{Nebenbedingung:}
	$$
	x_u+x_v \geq 1 \quad \forall \{u,v\}\in E
	$$
	Für jede Kante $\{u,v\}\in E$ muss mindestens einer der beiden Eckpunkte in $C$ enthalten sein.
\item \textbf{Korrektheit:} Die Nebenbedingung definiert klar, dass für jede Kante mindestens einer der Knoten den Wert 1 haben und somit in der Ergebnismenge $C$ enthalten sein muss. Dies entspricht genau der Problemstellung. \\
Da die Summe der Variablen minimiert wird, folgt daraus zwangsläufig die kleinste Knotenüberdeckung. 
\end{enumerate}