agt_exercise/übung_7/aufgabe_2.tex

\section{Eigenschaften von Wurzelspannbäumen}
\begin{quote}
	Sei $G = (V, E)$ ein gerichteter Graph und $s \in V$ ein ausgezeichneter Knoten.

	Ein Knoten $w$ ist von einem Knoten $v$ erreichbar, wenn es einen $v–w$-Weg (\autoref{fig:1}) gibt. Die Erreichbarkeitsmenge $E(v)$ eines Knotens $v$ ist die Menge aller Knoten, die von $v$ erreichbar
sind. Insbesondere ist $v \in E(v)$.
\end{quote}
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{vw.jpg}
	\caption{Volkswagen für den Raupengott!}
	\label{fig:1}
\end{figure}
\begin{tasks}
	\item
		\begin{quote}
			Falls $E(s) = V$, dann besitzt $G$ einen $s$-Wurzelspannbaum.
		\end{quote}

		Das heißt es existiert ein $s$-$u$-Weg für jeden Knoten $u \in V$.
		Daraus folgt, dass für jeden Knoten $v \in V \setminus \set{s}: \indeg(v) \geq 1$
		gilt, also jeder Knoten erreicht werden kann.

		Da es, wenn es einen $s$-$u$-Weg gibt, einen einfachen Weg geben muss,
		gilt für den, durch die $s$-$u$-Wege induzierten Graphen, dass er kreisfrei ist,
		also für jeden Knoten $v \in V \setminus \set{s}: \indeg(v) = 1$
und $\indeg(s) = 0$ gilt.

		Da jeder Knoten erreicht werden kann und der induzierte Graph die
		$s$-Wurzelbaum-Eigenschaften erfüllt, muss $G$ einen $s$-Wurzelspannbaum
		besitzen.
		\points{3}
	\item
		\begin{quote}
			Wenn $G$ kreisfrei und einen Wurzelspannbaum besitzt, dann ist dieser
			eindeutig bestimmt.
		\end{quote}
		
		Siehe \autoref{fig:2a}.
		\points{2}
		\begin{figure}[h]
			\centering
			\includegraphics[page=1, width=0.27\textwidth]{figures.pdf}
			\caption{Gegenbeispiel mit zwei möglichen Wurzelspannbäumen.}
			\label{fig:2a}
		\end{figure}

	\item
		\begin{quote}
			Wenn $G$ kreisfrei ist und zwei Wurzelspannbäume besitzt, dann haben beide dieselbe Wurzel.
		\end{quote}

		Da nur der Knoten $s$ den Eingangsgrad $0$ haben darf, muss dieser Knoten
		eindeutig sein, da der Graph sonst nicht zusammenhängend wäre und
		somit keinen $s$-Wurzelspannbaum besitzen würde.
		\points{2}
		
\end{tasks}