torus shit

übung_11/aufgabe_3.tex

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+\newpage
 \section{Planare Graphen}
+\begin{tasks}
+	\item
+		O.B.d.A. gilt:
 
+		Angenommen $G$ ist planar. Sei $n = \abs{V}, m = \abs{E}$ und Anzahl der Facetten $f$. Dann gilt 
+		\begin{align}
+			m &\leq 3n - 6 \\
+			f &\leq 2n - 4
+		\end{align}
+
+		Angenommen $G$ hat $11$ Knoten. Dann ist $m \leq 27 = 3 \cdotp 11 - 6$ und $f \leq 18 = 2 \cdotp 11 - 4$.
+
+		Ein Graph dieser Größe hat maximal $\binom{\abs{V}}{2} = \frac{11 \cdotp 10}{2 \cdotp 1} = 55$ Kanten. 
+	
+		Angenommen $G$ hat $27$ Kanten. $G'$ hat also $55 - 27 = 28$ Kanten. Das ist ein Widerspruch zum ersten Kriterium. Somit kann $G'$ nicht planar sein.
+		\points{3}
+
+	\item
+		Siehe \autoref{fig:3b} und \url{https://nevereverever.de/planark7.html}.
+		\points{3}
+		\begin{figure}
+			\centering
+			\includegraphics[page=6]{figures.pdf}
+			\caption{Planarer $K_7$ auf einem Torus. }
+			\label{fig:3b}
+		\end{figure}
+
+
+
+\end{tasks}