\newcommand{\indeg}{\mathrm{indeg}}
\newcommand{\outdeg}{\mathrm{outdeg}}

\section{Wurzelspannbäume und ungerichtete Bäume}
\begin{quote}
	Sei $G = \tup{V, E}$ ein gerichteter Graph und $s$ ein ausgezeichneter Knoten. Zeigen Sie:

	Der gerichtete Graph $G$ ist ein $s$-Wurzelspannbaum $\iff$ Der $G$ zugrunde
	liegende ungerichtete Graph $G'$ ist ein Baum, für jedes
	$v \in V \setminus \set{s} : \indeg(v) = 1$ und $\indeg(s) = 0$.
\end{quote}

\begin{itemize}
	\item[$\Rightarrow$]
		Wenn der Graph $G$ ein $s$-Wurzelspannbaum ist, dann erfüllt er die
		Eigenschaften eines $s$-Wurzelbaums, also $G$ azyklisch, $v \in V \setminus \set{s} : \indeg(v) = 1$ und $\indeg(s) = 0$. Der zugrunde liegende
		ungerichtete Graph $G'$ muss also auch azyklisch, also ein Baum, sein.
	\item[$\Leftarrow$]
		Fall 1: $G'$ ist kein Baum.

		Dann existiert in $G$ entweder ein gerichteter Kreis, was die erste $s$-\-Wurzel\-baum-\-Eigenschaft verletzt, oder ein Knoten $u$
		hat $indeg(u) > 1$.

		Fall 2: Es existiert ein Knoten $v \in V \setminus \set{s}$ mit $\indeg(v) > 1$.

		Das verletzt die zweite $s$-Wurzelbaum-Eigenschaft. Also kann $G$ kein $s$-\-Wurzel\-spann\-baum sein.

		Fall 3: Der Knoten $s$ hat $\indeg(s) > 0$.

		Das verletzt die dritte $s$-Wurzelbaum-Eigenschaft. Also kann $G$ kein $s$-\-Wurzel\-spann\-baum sein.
		\points{4}
\end{itemize}
