\section{Wurzelspannbäume in azyklischen Graphen}
\begin{tasks}
	\item
		Siehe \autoref{fig:3a}.
		\points{2}
		\begin{figure}
			\centering
			\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
				\centering
				\includegraphics[page=2, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
			\end{subfigure}
			\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
				\centering
				\includegraphics[page=3, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
			\end{subfigure}
			\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
				\centering
				\includegraphics[page=4, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
			\end{subfigure}
			\caption{Gegenbeispiel: Jarnik-Prim in orange und Optimale Lösung in blau.}
			\label{fig:3a}
		\end{figure}
	\item
		Siehe \autoref{fig:3b}.
		\points{2}
		\begin{figure}
			\centering
			\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
				\centering
				\includegraphics[page=5, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
			\end{subfigure}
			\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
				\centering
				\includegraphics[page=6, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
			\end{subfigure}
			\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
				\centering
				\includegraphics[page=7, width = 0.5\textwidth]{figures.pdf}
			\end{subfigure}
			\caption{Gegenbeispiel: Kruskal in orange und Optimale Lösung in blau.}
			\label{fig:3b}
		\end{figure}
	\item
		\alg*{DagMst} nimmt für jeden Knoten $v \in V \setminus \set{s}$ die
		Kante $\tup{u, v}$ mit minimalen Kosten in den $s$-Wurzelspannbaum.
		
		Dadurch, dass genau eine Kante $\tup{u, v}$ für jeden Knoten $v$ ausgewählt
		wird, hat jeder Knoten $\indeg(v) = 1$ und $\indeg(s) = 0$.

		Insbesondere ist auch jede Kante
		eine ausgehende Kante eines anderen Knotens, und weil genau $n-1$ Kanten ausgewählt werden, muss der Graph $T$ zusammenhängend sein.
		
		Da $G$ azyklisch ist, muss auch $T$ azyklisch sein. Also berechnet \alg*{DagMst} einen $s$-Wurzelspannbaum.
		\points{3}

	\item
		Sei $T$ ein Wurzelspannbaum der von \alg*{DagMst} berechnet wurde.

		Angenommen es gibt einen Wurzelspannbaum $T'$ der kleiner als $T$ ist,
		dann muss es einen Knoten $v$ geben mit Eingangskantenkosten 
		\[
			c(\tup{u', v}) < c(\tup{u, v})
		\]
		Das ist ein Widerspruch, da \alg*{DagMst} immer die minimale Kante $\tup{u, v}$ nimmt.
		\points{2}
\end{tasks}
