\section{Metrisches TSP}
\begin{tasks}
	\item
	Der Algorithmus für Minimale Spannbäume von Prim fügt in jedem Schritt die den Schnitt
	kreuzende Kante zum Baum hinzu, deren Kosten unter allen anderen kreuzenden Kanten minimal ist.
	
	\algt{CompleteHamilton} fügt denselben Knoten hinzu, da der Knoten $v$ nicht in $C$ liegt, also den Schnitt kreuzt und den kleinsten Abstand zu den Knoten in $C$ hat.
	\points{2}
	
	\item
	In jedem Schritt von \algt{CompleteHamilton} wird eine Kante $wu$ in $C$ durch zwei Kanten
	$wv$ und $vu$ ersetzt. Da $wv$ die minimale kreuzende Kante ist und $G$ die Dreiecksungleichung erfüllt, ist $c(v, u) \leq c(u, w) + c(w, v)$ und ist somit nicht länger als der
	doppelte Minimale Spannbaum, der analog zu \algt{CompleteHamilton} berechnet wird.
	Damit gilt wieder:
	$$
	c(Kreis) = 2 \cdotp c(MSB) \leq 2 \cdotp OPT
	$$
	Da eine TSP-Tour mit einer Kante weniger ein Spannbaum ist.
	\points{4}
	
	
\end{tasks}
