\section{Eulerwege}
\begin{quote}
Sei $G = \tup{V, E}$ ein ungerichteter, zusammenhängender Graph. Dann gilt: $G$ hat genau
dann einen Eulerweg, wenn die Anzahl an Knoten $v \in V$, für die gilt, dass $deg(v)$
ungerade ist, genau $0$ oder $2$ ist.
\end{quote}

\begin{itemize}
	\item[$\seilpmi$]
		1. Fall: $0$ Knoten mit ungeradem Grad. Nach dem Satz in der Vorlesung
		gibt es einen Eulerkreis. Im Eulerweg sind also Start- und Endknoten
		identisch.

		2. Fall: $2$ Knoten mit ungeradem Grad. Die beiden Knoten bilden den Start-
		und Endknoten des Eulerwegs. Die Kante die den Eulerkreis schließen würde
		braucht genau zwei Knoten, zu denen sie inzident ist. Nehmen wir diese Kante
		weg, ergibt sich eine ungerader Grad an diesen beiden Knoten.
	\item[$\implies$]
		Ein Graph mit ungerader Anzahl an Knoten mit ungeradem Grad kann nicht
		existieren, da die Summe aller Knoten mit ungeradem Grad gerade ist.

		Für alle anderen Fälle gilt, wenn ein Knoten ungeraden Grad hat, dann gibt
		es keinen Weg aus dem Knoten heraus, wenn man hineingelaufen ist.
\end{itemize}
\points{4}

