\section{Planarität}
\begin{tasks}
	\item
		\begin{itemize}
			\item[(B1)]
				Wäre einer der Teilgraphen $C + P$ von $G$ nicht planar, dann könnte
				auch der Graph $G$ nicht planar sein.
			
			\item[(B2)]
				Wenn der Störgraph nicht bipartit ist, dann gäbe es keine Möglichkeit
				die Teilstücke so innen und außen an den separierenden Kreis zu legen,
				sodass sich keine Teilstücke überschneiden, da es keine
				Aufteilung der Teilstücke in zwei disjunkte Mengen gibt, bei der
				sich Teilstücke nicht schneiden.
		\end{itemize}
		\points{3}

	\item
		Ein zweifach knotenzusammenhängender Graph hat per Definition einen Kreis.

		Aus dem Lemma 1 aus der Vorlesung folgt, dass wenn der Graph einen nicht-separierenden Kreis hat, 
		dann muss ein Teilstück ein Pfad sein, denn wenn es kein Pfad wäre,
		gäbe es einen separierenden Kreis. Somit besteht der Graph aus einem Kreis und/oder
		einem Pfadteilstück.

		Ein Kreis mit nur einem Teilstück lässt sich immer 
		Überscheidungsfrei zeichnen.
		\points{4}

	\item
		Sei $P$ ein Teilstück eines zweifach knotenzusammenhängenden Graphen $G$ 
		bezüglich eines separierenden Kreises $C$.

		Angenommen das Teilstück $p$ hat nur einen Anknüpfpunkt in $C$. Dann
		könnten wir diesen Knoten auf $C$ entfernen und würden den Graphen in
		zwei Zusammenhangskomponenten zerlegen. Also muss das Teilstück mindestens
		zwei Anknüpfpunkte haben und somit ist $C + P$ zweifach knotenzusammenhängend.
		\points{3}
	
\end{tasks}
