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\section{Planare Graphen}
\begin{tasks}
	\item
		O.B.d.A. gilt:

		Angenommen $G$ ist planar. Sei $n = \abs{V}, m = \abs{E}$ und Anzahl der Facetten $f$. Dann gilt 
		\begin{align}
			m &\leq 3n - 6 \\
			f &\leq 2n - 4
		\end{align}

		Angenommen $G$ hat $11$ Knoten. Dann ist $m \leq 27 = 3 \cdotp 11 - 6$ und $f \leq 18 = 2 \cdotp 11 - 4$.

		Ein Graph dieser Größe hat maximal $\binom{\abs{V}}{2} = \frac{11 \cdotp 10}{2 \cdotp 1} = 55$ Kanten. 
	
		Angenommen $G$ hat $27$ Kanten. $G'$ hat also $55 - 27 = 28$ Kanten. Das ist ein Widerspruch zum ersten Kriterium. Somit kann $G'$ nicht planar sein.
		\points{3}

	\item
		Siehe \autoref{fig:3b} und \url{https://nevereverever.de/planark7.html}.
		\points{3}
		\begin{figure}
			\centering
			\includegraphics[page=6]{figures.pdf}
			\caption{Planarer $K_7$ auf einem Torus. }
			\label{fig:3b}
		\end{figure}



\end{tasks}
