\section{Dreifärbarkeit}
\begin{tasks}
	\item
		Siehe \autoref{fig:1a}.
		\points{1}

		\begin{figure}
			\centering
			\includegraphics[page=1, width=0.5\textwidth]{figures.pdf}
			\caption{Dreifärbung des Sterngraphs.}
			\label{fig:1a}
		\end{figure}

	\item
		Da die Knoten, die zwei Türme miteinander verbinden, die selbe Farbe haben,
		kann man zwischen zwei Türme einen weiteren Turm einfügen, der die
		Färbbarkeitsregeln nicht verletzt.

		Die Knoten mit Grad 2 im Sterngraphen sind die Spitzen der Türme.
		Da die Turmverbindungsknoten alle die selbe Farbe haben müssen und die
		zu ihnen ajazenten Knoten jeweils unterschiedlich gefärbt sein müssen,
		da sie selbst adjazent zueinander sind, müssen die Spitzen die letzte
		freie Farbe bekommen.
		\points{2}
	
	\item
		Um das Problem 3COL auf das Problem 3COL4 zu reduzieren, müssen wir
		dafür sorgen, dass Knoten mit Grad größer $4$ so aufgelöst werden, dass
		sie maximal Grad $4$ haben.
		
		Dazu machen wir uns zu nutze, dass der Sterngraph beliebig erweiterbar
		ist und somit beliebig viele Knoten mit Grad $2$ hat, die alle die
		selbe Farbe haben müssen.

		Einen Knoten $v$ mit Grad $m > 4$ ersetzen wir durch einen Stern mit $m$
		Zacken. Die zu $v$ adjazenten Kanten verbinden wir mit den Spitzen des
		Sterns.

		Jetzt haben wir einen Graphen mit Maximalgrad $4$ auf dem wir \alg*{Test3COL4}
		anwenden können.

		Beim Rückübersetzen können wir die Sterne wieder durch einen einzigen Knoten
		ersetzen, der die Farbe der Spitzen hat. Da diese die selbe Farbe haben,
		verletzt das nicht die Färbbarkeitsregel.

		Da 3COL NP-vollständig ist, muss also 3COL4 und insbesondere auch \alg*{Test3COL4}
		auch NP-vollständig sein.
		\points{4}

\end{tasks}
