agt_exercise/übung_6/aufgabe_3.tex

\section{Matchings in allgemeinen Graphen}
\begin{tasks}
	\item

\begin{pseudocode}
Matchings($G = \tup(V, E)$)
	$M = \emptyset$
	$visited =$ |Array von $False$ der Größe| $|V|$ // Markiert gematchte Knoten

	for $e$ in $E$ do
		if $\neg visited[u] \wedge \neg visited[v]$ then
			$M = M \cup \{e\}$
			$visited[u] = True$
			$visited[v] = True$
	return $M$
\end{pseudocode}
		
	Angenommen $M$ wäre erweiterbar (d.h. es gibt eine Kante $\{u,v\}$ mit $u,v \notin V(M)$). Dann wurden sowohl $u$ als auch $v$ während des Algorithmus beim Durchlaufen der Kante $\{u,v\}$ als frei angesehen und wäre somit der Menge $M$ hinzugefügt worden. Das ist eine Widerspruch.

	\textbf{Laufzeit:}

	Initialisierung des Arrays: $\Oh(V)$

	Schleife: Jede Kante wird genau einmal betrachtet ($\Oh(V)$) und die Überprüfung und Markierung passieren in $\Oh(1)$. Also insgesamt $\Oh(E)$

	Das ergibt eine Gesamtlaufzeit von $\Oh(V+E)$
	\points{3}
	\item
	\points{2}

	\item
	Sei $M$ das vom Algorithmus berechnete maximale Matching und $M^*$ das optimale maximale Matching.

	Für jede Kante $e^*=\{u,v\}\in M^*$ gilt: mindestens einer der beiden Knoten $u$ oder $v$ muss über eine Kante aus $M$ abgedeckt werden, sonst wäre der $M$ nicht nicht-erweiterbar.

	Eine Kante aus $M$ hat genau zwei Endknoten und kann daher höchstens zwei verschiedene Kanten aus $M^*$ ,,blockieren``. Da alle Kanten in $M^*$ disjunkt sind kann man daraus folgern:
	\[
		\abs{M^*} \leq 2\cdot \abs{M} \implies \abs{M} \geq \frac{1}{2} \abs{M^*}
	\]
	Somit ist der Algorithmus aus der Teilaufgabe a) eine 1/2 Approximation für ein optimales Matching.
	
	\points{3}
	\item
	
	Zielfunktion:
	\[
		\arg\min \sum_{e\in E} x_e \geq 1
	\]
	Entscheidungsvariablen: für jede Kante $e\in E$:
	\[
		x_e\in\{0,1\}\quad \forall e\in E
	\]
	Die Variable nimmt den Wert 1 an, wenn die Kante im Matching M ist und 0 falls sie das nicht ist.

	Nebenbedingungen:
	\begin{enumerate}
		\item 
		Matching: Jeder Knoten darf von maximal einer Matching-Kante berührt werden
		\[
			\forall v\in V \colon \sum_{e\in \delta(v)}x_e\leq1
		\]
		$\delta(v)$ ist die Menge aller Kanten welche an $v$ anliegen
		\item Nicht-Erweiterbarkeit: Für jede Kante $\{u,v\}$ muss die Summe der Matching-Kanten an $u$ und $v$ mindestens 1 sein
			\[
				\forall \{u,v\} \in E \colon \sum_{e \in \delta(u)} x_e + \sum_{e' \in \delta(v)} x_e' \geq 1
			\]
		$\delta(v)$ ist die Menge aller Kanten welche an $v$ anliegen. Äquivalent für $\delta(u)$.
	\end{enumerate}
	\points{3}
	\item
	\points{2}
\end{tasks}