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\section{Planarität}
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\begin{tasks}
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\item
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\begin{itemize}
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\item[(B1)]
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Wäre einer der Teilgraphen $C + P$ von $G$ nicht planar, dann könnte
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auch der Graph $G$ nicht planar sein.
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\item[(B2)]
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Wenn der Störgraph nicht bipartit ist, dann gäbe es keine Möglichkeit
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die Teilstücke so innen und außen an den separierenden Kreis zu legen,
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sodass sich keine Teilstücke überschneiden, da es keine
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Aufteilung der Teilstücke in zwei disjunkte Mengen gibt, bei der
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sich Teilstücke nicht schneiden.
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\end{itemize}
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\points{3}
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\item
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Ein zweifach knotenzusammenhängender Graph hat per Definition einen Kreis.
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Aus dem Lemma 1 aus der Vorlesung folgt, dass wenn der Graph einen nicht-separierenden Kreis hat,
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dann muss ein Teilstück ein Pfad sein, denn wenn es kein Pfad wäre,
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gäbe es einen separierenden Kreis. Somit besteht der Graph aus einem Kreis und/oder
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einem Pfadteilstück.
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Ein Kreis mit nur einem Teilstück lässt sich immer
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Überscheidungsfrei zeichnen.
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\points{4}
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\item
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Sei $P$ ein Teilstück eines zweifach knotenzusammenhängenden Graphen $G$
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bezüglich eines separierenden Kreises $C$.
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Angenommen das Teilstück $p$ hat nur einen Anknüpfpunkt in $C$. Dann
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könnten wir diesen Knoten auf $C$ entfernen und würden den Graphen in
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zwei Zusammenhangskomponenten zerlegen. Also muss das Teilstück mindestens
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zwei Anknüpfpunkte haben und somit ist $C + P$ zweifach knotenzusammenhängend.
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\points{3}
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\end{tasks}
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